Răspuns
Explicație pas cu pas:
pentru rezolvarea sistemului aplicam definitia din legea de compozitie:
sistemul devine:
xy-5x-5y+30=z
yz-5y-5z+30=x
zx-5z-5x+30=y
scazand a doua ecuatie din prima, obtinem:
xy-5x-5y+30-(yz-5y-5z+30)=z-x
y(x-z)-5(x-z)=z-x y(x-z)=4(x-z)
(y-4)(x-z)=0 cu 3 situatii:
a) x≠z rezulta y=4
Inlocuind in cele 2 ecuatii
4z-20-5z+30=x z=10-x
(10-x)x-5(10-x)-5x+30=4 10x-x²-50+5x-5x+30=4 x²-10x+20=0
x1,2=[10+/-rad(100-80)/2=5+/-√5 din care doar 5+√5∈G
daca x≠z obtinem
x=5+√5, y=4 si z=5-√5∉G deci nu avem o solutie pentr sistem
[Analog obtinem pentru x≠y
x=5+√5, y=5-√5∉G si z=4 deci nu avem o solutie pentr sistem
pentru z≠y
x=4, y=5-√5∉G si z=5+√5 deci nu avem o solutie pentr sistem ]
b) x=z si y=4
implica sistemul
x²-5x-5x+30=4
x²-10x-26=0 x1,2=[10+/-√100+104)]/2=5+/-√51 din care retinem doar pe 5+√51∈G
solutie: x=z=5+√51 si y=4
Analog se obtin si solutiile simetrice
x=y=5+√51 si z=4
y=z=5+√51 si x=4
c) x=z si y≠4
x²-5x-5y+30=y
xy-5x-5y+30=x si scadem a doua ecuatie din prima
x²-5x-5y+30-xy+5x+5y-30=y-x
x(x-y)=-(x-y) (x+1)(x-y)=0 care implica x=y (deoarece x=-1∉G nu este acceptabila)
Concluzie x=y=z implica x²-5x-5x+30=x x²-11x+30=0 cu x1,2=11+/-√121-120)]/2 cu solutiile
x1=5=y1=z1
si x2=6=y2=z2
