👤
NOU2ZE
a fost răspuns

demonstrati prin inductie matematica :7^(2n)-4^(2n) divizibil cu 33

Răspuns :

CHRIS02JUNIORZE

Răspuns


Explicație pas cu pas:

n=1: 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33 divizibil prin 33

PP adev 7^(2n)-4^(2n) divizibil cu 33

Notez a=7^(2n) si b=4^(2n) pentru a simplifica scrierea

si avem astfel

a-b divizibil cu 33, ipoteza de inductie, presupusa adevarata.

VD pt n+1 ca este adevarat si acolo:

7^(2(n+1)) - 4^(2(n+1)) = 7^(2n+2) - 4^(2n+2) =

7^2n * 7^2  -  4^2n * 4^2 = 49a -16b =

16a-16b+33a = (l-am "spart" pe 49a in 16a+33a)

16(a-b) + 33a =(ip. ind.)

M33 + 33a = suma de doi termeni divizibili cu 33, deci si suma divizibila cu 33.

Qvot Erat Demonstrandum.



TARGOVISTE44ZE

[tex]\it P(n):\ (7^{2n}-4^{2n})\ \vdots\ 33,\ \forall\ n\in\mathbb{N}^*\\ \\ P(1):\ (7^2-4^2)\ \vdots\ 33 \Rightarrow (49-16)\ \vdots\ 33 \Rightarrow 33\ \vdots\ 33\ (A)[/tex]

Presupunem P(k) adevărată și arătăm că P(k+1) adevărată.

[tex]\it P(k):\ (7^k-4^k)\ \vdots\ 33\ \ \ (*)\\ \\ P(k+1):\ (7^{2(k+1)}-4^{2(k+1)})\ \vdots\ 33\\ \\ 7^{2(k+1)}-4^{2(k+1)}= 7^{2k+2}-4^{2k+2}=7^{2k}\cdot7^2-4^{2k}\cdot4^2=7^{2k}\cdot49-4^{2k}\cdot16=\\ \\ =7^{2k}(33+16)-4^{2k}\cdot16=7^{2k}\cdot33+7^{2k}\cdot16-4^{2k}\cdot16=[/tex]

[tex]\it = 7^{2k}\cdot33+16(7^{2k}-4^{2k})\\ \\ 7^{2k}\cdot33\in M_{33},\ \ 16(7^{2k}-4^{2k})\in M_{33}\ (din\ (*))\\ \\ Deci\ 7^{2k}\cdot33+16(7^{2k}-4^{2k})\in M_{33} \Rightarrow P(k+1)\ este\ adev\breve{a}rat\breve{a}\\ \\ \\ Prin\ urmare,\ P(n):\ (7^{2n}-4^{2n})\ \vdots\ 33\ este\ adev\breve{a}rat\breve{a},\ \forall n\in\mathbb{N}^*[/tex]


[q. e. d.] (quod  erat  demonstrandum)



Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți alte întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ze Teaching: Alte intrebari