Demonstratia directei:
Fie k ratia progresiei geometrice. Deci x2=kx1, x3=k^2*x1....xn+1=k^n*x1
Inlocuim in relatia pe care trebuie sa o demonstram:
(x1^2+k^2*x1^2+k^4*x1^2+k^6*x1^2+...+k^(2n-2)*x1^2)*(k^2*x1^2+k^4*x1^2+k^6*x1^2+...+k^(2n)*x1)=(x1*x1*k+x1*k*x1*k^2+x1*k^2*x1*k^3+....+x1*k^(n-1)*x1*k^n)^2
Dam factor comun pe x1^2 in toate cele 3 parantezele:
x1^2(1+k^2+k^4+....+k^(2n-2))*x1^2(k^2+k^4+....+k^2n)=(x1^2(k+k^3+.....+k^(2n-1)))^2
x1^2^2 se simplifica si avem:
(1+k^2+k^4+....+k^(2n-2))*(k^2+k^4+....+k^2n)=(k+k^3+.....+k^(2n-1))^2 (1)
Toate aceste 3 sume sunt progresii geometrice. Le calculam folosind formula:
Sn=b1⋅(qn−1)/(q−1), unde b1 este primul termen, q ratia, iar n numarul de termeni.
Prima suma are primul termen 1, iar ratia k^2, avand n termeni.
Deci Sn=1(k^2^n-1)/(k^2-1)=(k^2n-1)/(k^2-1)
Calculam la fel a doua suma. Aceasta are primul termen k^2, ratia k^2, avand tot n termeni.
Deci Sn=(k^2)(k^2^n-1)(k^2-1)=(k^2)(k^2n-1)/(k^2-1).
Calculam si ultima suma. Aceasta are primul termen k, ratia k^2 si din nou n termeni.
Deci Sn=k(k^2^n-1)/(k^2-1)
Inlocuim in formula 1:
(k^2n-1)/(k^2-1) * (k^2)(k^2n-1)/(k^2-1)=(k(k^2^n-1)/(k^2-1))^2
(k^2)*(k^2n-1)^2/(k^2-1)^2=k^2(k^2^n-1)^2/(k^2-1)^2, ceea ce este bine inteles adevarat.
Demonstratia inversei:
Din inegalitatea CBS avem:
(x1^2+x2^2+.....+xn^2)(x2^2+x2^2+.....+x(n+1)^2)>=(x1x2+x2x3+....+xnx(n+1))^2. Deci ecuatia noastra este cazul de egalitate din CBS, ceea ce inseamna ca
x1/x2=x2/x3=x3/x4=....=xn/xn+1=k
Luam fiecare din cele n fractii separat si le egalizam cu k.
x1/x2=k, deci x1=k*x2, adica x2=(1/k)*x1
x2/x3=k, deci x2=k*x3, adica x3=(1/k)*x2
..
..
xn+1/xn=k, deci xn+1=k*xn, adica xn=(1/k)*xn+1
Din definitia progresiilor geometrice, se vede usor ca numerele sunt in progresie cu ratia 1/k
