[tex]A=(-\frac{2}{3})*(-\frac{2}{3})^2*...*(-\frac{2}{3})^{2012}=(-\frac{2}{3})^{1+2+...+2012}=(-\frac{2}{3})^{\frac{2012*2013}{2}}[/tex]
[tex]B=(-\frac{3}{2})*(-\frac{3}{2})^2*...*(-\frac{3}{2})^n=(-\frac{3}{2})^{1+2+...+n}=(-\frac{3}{2})^{\frac{n*(n+1)}{2}}[/tex]
Pentru ca A*B sa fie nr nat, cele doua numere trebuie sa aiba aceeasi putere. Daca nu vor avea aceeasi putere, atunci una din fractii nu se va combina cu cealalta pentru a crea un numar natural, si va transforma totul intr-o fractie.
Ex: [tex](-\frac{2}{3})*(-\frac{3}{2})=+\frac{6}{6} =1[/tex]
Fiecare putere a primei fractii, se va completa cu fiecare putere a celeilalte fractii pentru a crea un intreg.
[tex]\frac{2012*2013}{2} =\frac{n*(n+1)}{2}[/tex]
[tex]n=2012[/tex]