Răspuns :
[tex]\text{Aplicam inegalitatea dintre media geometrica si media aritmetica:}\\\boxed{\sqrt{x\cdot y}\leq \dfrac{x+y}{2}}, \text{ sau } \boxed{x\cdot y\leq \dfrac{(x+y)^2}{4}}\\\text{Avem ca :}\\\dfrac{a_k\cdot a_{k+1} }{a_k+a_{k+1}}\leq \dfrac{(a_k+a_{k+1})^2}{4(a_4+a_{k+1})} = \dfrac{a_k+a_{k+1}}{4}\\\text{Aplicand pentru fiecare fractie in parte obtinem :}[/tex]
[tex]\dfrac{a_1\cdot a_2}{a_1+a_2}+\dfrac{a_2\cdot a_3}{a_2+a_3}+\ldots +\dfrac{a_n\cdot a_1}{a_n+a_1}\leq \dfrac{a_1+a_2 }{4}+\dfrac{a_2+a_3}{4}+\ldots +\dfrac{a_n+a_1}{4}=\\~~~~~~~~~~~~~~\leq 1\\\dfrac{2\overbrace{(a_1+a_2+\ldots +a_n)}}{4}\leq \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}~ Q.E.D.[/tex]
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți alte întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!