Presupunem prin reducere la absurd ca ar exista o serie convergenta si una divergenta a caror suma sa fie convergenta. Notam cu [tex]C[/tex] seria convergenta, cu [tex]D[/tex] seria divergenta, si fie [tex]X=C+D[/tex] suma seriilor
Fie [tex]c[/tex] limita seriei [tex]C[/tex] si fie [tex]x[/tex] limita seriei [tex]X.[/tex] Aceste limite sunt finite.
Atunci [tex]D=X-C[/tex] are limita finita [tex]x-c,[/tex] contradictie cu divergenta lui D.
Exista serii diveregente a caror suma este convergenta. Luam doua serii opuse, iar atunci suma lor va fi o serie constanta (nula).
De exemplu seriile [tex]\displaystyle H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}[/tex] si [tex]\displaystyle H_n'=- \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.[/tex]
Ele sunt divergente (avand limitele [tex]+\infty,[/tex] respectiv [tex]-\infty[/tex]), dar suma lor este o serie constanta: [tex]\displaystyle H_n+H_n'=0,[/tex] deci convergenta.
