Dupa cum ziceam, demonstram prin inductie ca A^n= (3ⁿ 0)
( 0 1)
Voi nota relatia de demonstrat cu P(n). Parcurgem cele doua etape ale inductiei. Prima etapa este verificare ( nu e obligatorie)
P(1): A¹= ( 3 0)
(0 1) -adevarat.
Etapa 2:
Presupunem P(k) adevarat ∀ k ∈N*.Trebuie sa demonstram ca si P(k+1) este adevarat.
P(k): A^k= ( 3^k 0), k∈Z
( 0 1) --- asta-i relatia adevarata
P(k+1): A^(k+1)= (3 ^(k+1) 0)
(0 1) ----relatia care trebuie demonstrata
Dar stim ca : A^(k+1)= A^k * A= calcule = (3 ^(k+1) 0 ) ,prin urmare P(k+1) este
( 0 1)
adevarata. Rezulta concomitent ca P(k) este adevarat ,deci P(n) -adevarat ∀n∈ N*.
In fine ,hai sa revenim la oile noastre.
B=A+A²+...+A²⁰¹⁶
B=( 3 0) + (3² 0) + ..... + (3²⁰¹⁶ 0)
(0 1) (0 1) (0 1)
Adunand membru cu membru se obtine :
B= ( 3+3²+...+ 3²⁰¹⁶ 0)
( 0 2016 )
Hai sa calculam si suma din partea stanga-sus. (o voi nota cu S)
S=3+3²+...+3²⁰¹⁶
Suma este o progresie geometrica de ratie 3, primul termen fiind 3. Deci
S= 3 * (3²⁰¹⁶ - 1) /(3-1 ) (sper ca stii cum se calculeaza suma unei progresii geometrice)
S=(3²⁰¹⁷- 3) /2
Atunci transpusa matricei (suma elementelor de pe diagonala principala este)
Tr(B)= (3²°¹⁷-3 )/ 2 +2016 (nu se poate aduce la o forma mai simpla)
Cam asta ii tot :) .
Sper ca te-am ajutat!
