2)
A, B, C sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, atunci se poate scrie că B este egal cu media aritmetică a termenilor vecini lui.
[tex] \it B = \dfrac{A+C}{2} \Rightarrow 2B=A+C |_{+B} \Rightarrow 3B = A+B+C \Rightarrow 3B=180^o \Rightarrow B = 60^o [/tex]
5)
Punctul de extrem al funcției este punctul de maxim, vârful parabolei
[tex] \it V\left(-\dfrac{b}{2a}, \ \ -\dfrac{\Delta}{4a} \right)\\ \\ \\ -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{-2} =-1\\ \\ \\ -\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{4}{-4} =1 [/tex]
Așadar, punctul de extrem al funcției este punctul de maxim
[tex] \it V(-1,\ \ 1) [/tex]
4)
[tex] \it 3x-4<14 \Rightarrow 3x<18|_{:3} \Rightarrow x<6\\ \\ A = \{1,\ \ 2,\ \ 3,\ \ 4,\ \ 5\} [/tex]
Avem 5 cazuri posibile și două cazuri favorabile, 1 și 4.
Probabilitatea cerută este p = 2/5
5)
[tex] \it (d_1): 2x-y+3=0 \Rightarrow y = 2x+3 \ \ \ \ \ \ (1)\\ \\ (d_2): x-y+5=0 \Rightarrow y = x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow 2x+3 = x+5 \Rightarrow 2x-x=5-3 \Rightarrow x = 2 \ \ \ \ \ (3)\\ \\ (1),\ (3) \Rightarrow y = 2\cdot2+3 \Rightarrow y=7 [/tex]
Deci, avem P(2, 7).
Prima bisectoare are ecuația y = x.
Orice paralelă la prima bisectoare va avea ecuația :
(d₃) : y = x + n
P(2, 7) ∈ d₃ ⇒ 7=2+n ⇒ n = 5.
Deci, ecuația dreptei cerute este:
(d₃): y = x + 5.
6)
[tex] \it \sqrt{x+1} +\sqrt{3-x} =2 [/tex]
Condițiile de existență a ecuației sunt:
x -1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 ⇒ x ∈ [1, ∞) (1)
3-x ≥ 0 ⇒ 3 ≥ x ⇒ x ≤ 3 ⇒ x∈(-∞, 3] (2)
(1), (2) ⇒ x ∈[1, ∞) ∩ (-∞, 3] ⇒ x ∈ [1, 3] ⇒ Domeniul de existență este
D = [1, 3]
[tex] \it \sqrt{x-1} +\sqrt{3-x} =2 \Rightarrow (\sqrt{x-1} +\sqrt{3-x})^2 =2^2 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x-1+3-x+2\sqrt{(x-1)(3-x)} =4 \Rightarrow 2\sqrt{(x-1)(3-x)} =2|_{:2} \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow \sqrt{(x-1)(3-x)} =1 \Rightarrow (x-1)(3-x) =1 \Rightarrow 3x-x^2-3+x-1=0\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow -x^2+4x-4=0|_{\cdot(-1)} \Rightarrow x^2-4x+4=0 \Rightarrow (x-2)^2 =0\Rightarrow x= 2\in D [/tex]
