a)
[tex]\it \Delta ANM \sim \Delta ABC\ (cazul\ UU) \Rightarrow \dfrac{AN}{AB} =\dfrac{AM}{AC} \Rightarrow \dfrac{AN}{9} =\dfrac{4}{12} \Rightarrow
\\ \\ \\
\Rightarrow AN = \dfrac{9\cdot4}{12} = \dfrac{36}{12} = 3\ cm[/tex]
b)
[tex]\it \mathcal{A}_{BCNM} = \mathcal{A}_{ABC} - \mathcal{A}_{ANM} =\dfrac{AB\cdot AC}{2} -\dfrac{AN\cdot AM}{2} =
\\ \\ \\
= \dfrac{9\cdot12}{2}-\dfrac{3\cdot4}{2}= 54-6=48\ cm^2[/tex]
c)
În triunghiul dreptunghic AMN, mediana AP are lungimea egală cu
jumătate din lungimea ipotenuzei MN.
AP = MP ⇒ ΔPAM - isoscel, m(∡PAM) = m(∡AMN) (1)
Dar, se știe că m(∡AMN) = m(∡BCA) (2)
(1), (2) ⇒ m(∡PAM) = m(∡BCA)
Fie AP ∩ BC = {D} și în triunghiul ABD avem:
m(∡DAB) + m(∡ABD) = m(∡BCA) + m(∡ABC) = 90°
(suma măsurilor unghiurilor ascuțite ale triunghiului dreptunghic ABC).
Rezultă că m(∡BDA) = 90° ⇒ AD ⊥ BC ⇒ AP⊥ BC.
