Exercitiul acesta se poate face cu sirul lui Rolle, adica va trebui sa determinam semnul functiei pe intervale, si la fiecare schimbare de semn stim ca functia se anuleaza intr-un punct din acel interval.
Prima data trebuie sa definim functia:
Conditiile de existenta pentru logaritm si pentru fractie:
[tex]\frac{x+1}{1-x}\ \textgreater \ 0\rightarrow x\in(-1,1)\\\\ 1-x\neq 0\rightarrow x \neq 1\\\\ D=(-1, 1)[/tex]
[tex]f:(-1, 1)\rightarrow R\ ,\ \ f(x)=ln( \frac{x+1}{1-x} ) +2arctgx+3[/tex]
Functia este continua si derivabila pe domeniul de definitie deoarece este compusa din functii elementare, care sunt si ele continue si derivabile pe domeniu.
Aici incepe aplicarea efectiva a sirului lui Rolle:
I. Calculam derivata:
[tex]f'(x)=\frac{1-x}{x+1}\cdot(\frac{x+1}{1-x})'+\frac{2}{1+x^2}=\frac{1-x}{x+1}\cdot\frac{(1)(1-x)-(-1)(1+x)}{(1-x)^2}+\frac{2}{1+x^2}=\\\\
=\frac{2}{1-x^2}+\frac{2}{1+x^2}=\frac{2(1+x^2+1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}=\frac{4}{1-x^4}[/tex]
II. Aflam punctele critice:
[tex]\frac{4}{1-x^4}=0\rightarrow 4=0 \rightarrow x\in \O[/tex]
Asadar, nu exista puncte critice.
III. Aflam semnul punctelor critice si al capetelor functiei. Cum nu avem puncte critice, vom face doar capetele functiei, iar cum acestea nu se afla in domeniu, va trebui sa facem limitele (pentru -1 si 1):
[tex]\lim_{x\rightarrow -1,\ x\ \textgreater \ -1}f(x)=ln(0_+)+2arctg(-1) + 3 = -\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow 1,\ x\ \textless \ 1}f(x)=ln(\frac{1}{0_+})+2arctg(1)+3=ln(\infty) + M = \infty[/tex]
Asadar, semnul functiei catre -1 este negativ, iar catre 1 este pozitiv
IV.
Cum nu avem decat capete, semnele pentru acestea sunt {-, +}. Exista o singura schimbare de semn, iar teoria ne spune ca intre ele exista o singura solutie. Daca ar mai fi existat solutii, atunci ar fi existat mai multe schimbari de semn.
Concluzie: exista o singura solutie in intervalul (-1, 1) pentru ecuatia f(x) = 0
Ca sa vedem daca solutia este pozitiva sau negativa, vedem care este semnul lui f(0) (deoarece acesta este punctul care separa numerele negative de cele pozitive)
[tex]f(0)=ln(1)+2arctg0+3=3\ \textgreater \ 0[/tex]
f(0) este pozitiv, deci schimbarea de semn se produce intre (-1, 0), interval in care toate numerele sunt negative ==> Ecuatia are o singura solutie negativa
