a).
in patratul ABCD AC diagonala => AC bisectoarea <BCD
Fie a - latura P = 4a deci 48 = 4a => a = 12 deci latura = 12
Stim ca M mijlocul laturei BC => MC = MB = 6
Avem ΔMNC = dreptunghic
<MNC = 90 dar stim ca AC bisectoarea <C deci <MCN = 45
cum suma unghiurilor intr-un triunghi = 180 avem <NMC + <MCN + <MNC = 180
<NMC + 45 + 90 = 180 ⇒ m<NMC = 45 (180 - 45 - 90)
<NMC = 45 si m<MCN = 45 = ΔMNC Dreptunghic Isoscel ⇒ MN = NC
Fie MN = NC = x
Facem pitagora si obtinem MC² = MN² + NC² ⇒ 6² = x² + x² ⇒ 36 = 2x² ⇒
x² = 18 ⇒ x = √18 ⇒ x = √9 ·√2 ⇒ x = 3√2. Deci MN = 3√2
b).
O proiectia lui D pe AC si N proiectia lui M pe AC asta inseamna ca DO ⊥ AC si MN ⊥ AC. Pentru ca cele doua sunt perpendiculare pe aceeasi dreapta asta inseamna ca DO ║ MN. Pentru ca DO si MN sunt paralele asta inseamna ca patrulaterul DOMN trapez!
c).
conform proprietatilor diagonalelor patratului sunt perpendiculare, congruente si se injumatatesc si d = l√2 ⇒ d = 12√2
Cum DO ⊥ AC ⇒ O ∈ DB deci DO = d/2 ⇒ DO = 6√2
Ducem perpendiculara din O pe AC a.i. OO' ⊥ DC atunci avem OO'MC patrat cu latura MC = 4 si OC si MO' diagonale, deci d = 4√2 ⇒ MN = d/2 ⇒
MN = 2√2 = NO
In trapezul DOMN avem A = [(B + b)h]/2 , B = DO si b = MN si h = NO
deci Aria A = [(6√2 + 4√2)4√2]/2 ⇒ A = 40
