👤
ANDREUTZAKRISSZE
a fost răspuns

Fie familia de functii fm:R→R, fm(x)=(m-2)x²-(4m-9)x+3m-7, m≠2.
a) Sa se determine m astfel incat curba G fm intersecteaza axa OX in doua puncte situate la distanta 3.
b) Sa se arate ca parabolele G fm trec prin doua puncte fixe.

Răspuns :

ALBASTRUVERDE12ZE
[tex]\displaystyle a)~Cu~alte~cuvinte~|x_1-x_2|=3.\\ \\ Avem~\Delta=(2m-5)^2.~Deci~radacinile~ecuatiei~sunt \\ \\ \frac{4m-9 \pm \sqrt{(2m-5)^2}}{2(m-2)} = \frac{4m-9 \pm |2m-5|}{2(m-2)}. \\ \\ Una~dintre~radacini~este~\frac{4m-9+2m-5}{2(m-2)}= \frac{6m-14}{2(m-2)}= \frac{3m-7}{m-2}, \\ \\ iar~cealalta~este~ \frac{4m-9-(2m-5)}{2(m-2)}= \frac{2m-4}{2(m-2)}=1.[/tex]
[tex]\displaystyle Deci~ \left| \frac{3m-7}{m-2}-1\right|=3 \Leftrightarrow \left| \frac{2m-5}{m-2} \right|=3. \\ \\ i)~\frac{2m-5}{m-2}=3 \Leftrightarrow 2m-5=3m-6 \Leftrightarrow m=1. \\ \\ ii)~ \frac{2m-5}{m-2}=-3 \Leftrightarrow 2m-5=-3m+6 \Leftrightarrow m= \frac{11}{5}.[/tex]

[tex]\displaystyle b)~Pentru~a~determina~cele~doua~puncte,~vom~da~doua~valori \\ \\ particulare~pentru~m~si~vom~cauta~punctele~de~intersectie~ale \\ \\ graficelor~corespunzatoare.~Punctele~cautate~trebuie~sa~se~afle~ \\ \\ printre~ele. \\ \\ Sa~luam~m=3~ai~m=4. \\ \\ f_3(x)=x^2-3x+2 \\ \\ f_4(x)=2x^2-7x+5. \\ \\ Punctele~de~intersesctie~se~gasesc~rezolvand~ecuatia \\ \\ f_3(x)=f_4(x) \Leftrightarrow x^2-3x+2=2x^2-7x+5 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0; \\ \\ cu~radacinile~1~si~3.[/tex]

[tex]\displaystyle Acum~trebuie~sa~demonstram~a~f_m(1)~si~f_m(3)~sunt~constante. \\ \\Intr-adevar~f_m(1)=0~si~f_m(3)=2. \\ \\ Prin~urmare~G_{f_m}~trece~prin~punctele~(1,0)~si~(3,2)~\forall~m \in \mathbb{R}-\{2\}.[/tex]


RAYZENZE
[tex]f_m(x) = (m-2)x^2-(4m-9)x+3m-7,\quad m\neq 2\\ \\ a) \quad |x_1 - x_2| = 3\\ \\ (x_1-x_2)^2 = x_1^2-2x_1x_2+x_2^2 \\ (x_1-x_2)^2 = x_1^2+x_2^2 - 2x_1x_2 \\ (x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_2[/tex]

[tex](x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2\\ \sqrt{(x_1-x_2)^2} = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}\\ \\ \Rightarrow \boxed{|x_1-x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}}\rightarrow \text{formula}[/tex]

[tex]\Rightarrow \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = 3\Big|^2\\ \\ (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 9 \\ \\ \text{Aplicam relatiile lui Viete:} [/tex]

[tex] \Big(\dfrac{4m-9}{m-2}\Big)^2 - 4\cdot\dfrac{3m-7}{m-2}= 9\Big|\cdot (m-2)^2 \\ \\ (4m-9)^2 - 4(3m-7)(m-2) = 9(m-2)^2 \\ \Big(4(m-2)-1\Big)^2-4\Big(3(m-2)-1\Big)(m-2) = 9(m-2)^2 \\ \\ m-2 = t \\ \\ (4t-1)^2-4(3t-1)t = 9t^2 \\ 16t^2-8t + 1 - 12t^2 + 4t - 9t^2 = 0 \\-5t^2 -4t+1 = 0 \\ \\ \Delta = 16 + 20 = 36 = 6^2[/tex]

[tex] t_{1,2} = \dfrac{4\pm 6}{-10}\\ \\ t_1 = -1 \Rightarrow m-2 = -1 \Rightarrow m_1 = 1 \\ t_2 = \dfrac{1}{5} \Rightarrow m-2 = \dfrac{1}{5} \Rightarrow m_2 = \dfrac{11}{5} \\ \\ \\ \Rightarrow \boxed{m \in \left\{1,\dfrac{11}{5}\right\}}[/tex]


[tex]b)\quad f_m(x) = (m-2)x^2-(4m-9)x+3m-7 \\ \\ \text{Consideram punctul fix M(a,b) ce apartine familiilor}\\ \text{de parabole.} [/tex]

[tex]M(a,b) \in Gf \Rightarrow f_m(a) = b\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow (m-2)a^2-(4m-9)a + 3m-7 = b \\ \\ ma^2-2a^2-4ma+9a+3m-7-b = 0 \\ \\ m(a^2-4a+3) +(-2a^2+9a-b-7) = 0 \\ \\ a^2-4a+3 = 0 \quad \text{si}\quad -2a^2+9a-b-7 = 0 \\ \\ (a-1)(a-3) = 0 \quad \text{si}\quad -2a^2+9a-b-7 = 0[/tex]

[tex]\bullet ~ a = 1 \Rightarrow -2\cdot 1^2 + 9\cdot 1-b-7 = 0 \Rightarrow b = 0 \\ \\ \Rightarrow A(1,0) \\ \\ \bullet ~ a = 3 \Rightarrow -18+27-b-7 = 0 \Rightarrow b = 2 \\ \\ \Rightarrow B(3,2) \\ \\ (1,0) \text{ si } (3,2) \text{ sunt cele 2 puncte fixe.}[/tex]

Punctele fixe ale unei familii de parabole sunt acele puncte care apartin graficului pentru orice valoare a parametrului m.
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți alte întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ze Teaching: Alte intrebari