Răspuns :
Concluzia din enunț se poate transpune în relația:
AC ⊥ BD ⇔ AD² = AB·CD
"⇒" (demonstrăm prima implicație, adică AC ⊥ BD ⇒ AD² = AB·CD).
Ducem DF||AC, (F∈AB) (1)
CD||AB și F∈AB ⇒ CD||AF (2)
(1), (2) ⇒ ACDF - paralelogram ⇒ CD = AF (3)
Știm că AC⊥BD (4)
(1), (4) ⇒ DF ⊥ BD ⇒ΔDFB- dreptunghic în D ⇒m(∡D) = 90°.
DA⊥FB ⇒ DA - înălțime corespunzătoare ipotenuzei FB.
Cu teorema înălțimii ⇒ AD² = AB ·AF (5)
(3), (5) ⇒ AD² = AB · CD
[tex]"\Leftarrow "[/tex]
AD² = AB · CD (1)
Fie DF||AC, (F ∈ AB), rezultă ACDF - paralelogram ⇒ CD=AF (2)
(1), (2) ⇒ AD² = AB · AF (3)
Pentru că AB ≠ AF, din reciproca teoremei înălțimii ⇒ΔDFB dreptunghic
în D ⇒ DF⊥BD, dar DF || AC ⇒ AC ⊥ BD.
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți alte întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!