👤
XFAITER02ZE
a fost răspuns

(a) Sa se determine numarul de siruri (an)n≥1 avand termeni intregi cu prop ca an · an+2 · an+3 = -1 , ∀n ≥ 1
(b) Sa se dem ca nu exista siruri (an)n≥1 avand termeni intregi a.i an · an+2 · an+3 = 2005, ∀n ≥ 1
-----------------------------------------
nu stiu de ce dar mie mi se pare ca (b) este incorect... obs ca exista un sir format din termenii an = 1 , an+2 = 5 si an+3 = 401..un exemplu de sir ce contrazice cerinta

Răspuns :

NICUMAVROZE
a1, a2, a3, a4, an, a6, a7, a8, a9, a10,a11,a12, a13, a14, a15, ...............an
Avem relatia
an · an+2 · an+3 = -1 deci an+3=-1/(an · an+2)
ptr. n=1  a4=-1/(a1 · a3)
cum aven nr. din Z singurele numere ce pot fi solutii sunt date de
(a1 · a3)=+/-1 deci deja 2 posibile siruri 
       a.  a1=1, a3=-1, deci a4=1....
       b. a1=-1, a3=1, deci a4=-1....
Dezvoltam punctul a
Calculam pe urmatorul
a5=-1/(a2 · a3)=-1/[(a2*(-1)]=1/a2
din aceleasi considerente ca numerele sa fie intregi, gasim doar 2 variante ptr a2=+/-1
avem acum  subvariantele
      a1.1 ce porneste cu a1=1, a2=+1, a3= -1, a4=1
      a1.2 ce porneste cu a1=1, a2=-1, a3= -1, a4= -1
      b1.1 ce porneste cu a1= -1, a2=+1, a3=1, a4=1
      b1.2 ce porneste cu a1= -1, a2=+1, a3=1, a4= -1
       Dezvoltam varianta a.1. cu    a1=1, a2=+1, a3=-1, a4=1, mergand cu calculele si am obtinut sirul
1,1,-1,   1,-1,-1, 1,1,1,-1,     1,-1,-1, 1,1,1,-1,    1,-1,-1, 1,1,1,-1,..... la care se observa periodicitatea 7
astfel putem scrie incepand cu
       a4=a(4+7)=a(4+14)= a(4+n*7)
       a5=a(5+7)=a(5+14)= a(5+n*7)
       a6=a(6+7)=a(6+14)= a(6+n*7)
       a5=a(7+7)=a(7+14)= a(7+n*7)
        etc
        a10=a(10+7)=a(10+14)= a(10+n*7)
iar de la a11=a4
Cu alte cuvinte avem termen general sub forma a 7 relatii:
n de forma 7k+1 an=a7=1,
 n de forma 7k+2, an=a8=1
etc
n de forma 7k+6, an=a13=-11
La fel se judeca si celelalte 3 variante 2.2, 1.2, 1.3

Exercitiul al doilea se rezolva asemanator
an · an+2 · an+3 = 2005, ∀n ≥ 1
an+3=2005/(an · an+2)
din considerente de numere intregi
ptr. (an · an+2)=2005 exista 16 variante (2005 are doar descompunerile = +/-1*2005 sau +/- 401*5
a.1  an=1 si an+2=2005
a.2  an= -1 si an+2=2005
a.3  an= -1 si an+2= -2005
a.4  an= -1 si an+2=-2005
a.5  an=2005 si an+2=1
a.6  an=-2005 si an+2=1
a.7  an=2005 si an+2=-1
a.8  an=-2005 si an+2= -1
a.9  an=5 si an+2=401
a.10  an=��-5 si an+2=401
a.11  an= 5 si an+2= -401
a.12  an=-5 si an+2= -401
a.13  an=401 si an+2= 5
a.14  an= -401 si an+2= 5
a.15  an=401 si an+2= -5
a.16  an= -401 si an+2=  -5
 
Dezvoltam pe a.1    ptr. n=1  a1=1, a3=2005
a4=2005/1*2005=1
a5=2005/a4*a2=2005/1*a2=2005/a2 iar din considerente de nr intregi
apar din nou 8 subvariante ptr. a2:    a2=+/-1,  a2=+/-5,   a2=+/-401  si  a2=+/-2005
dezvoltam a.1.1 ptr n=1
a1=1, a2=1, a3=2005, a4=1
calculam a5=2005/1=2005
                 a6=2005/a5*a3=2005/2005*2005 care nu mai este intreg!!!
             
Bineinteles asa se arata ca nici o varianta nu merge, deci nu putem construi astfel de siruri.

                                                 



Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți alte întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ze Teaching: Alte intrebari