Răspuns :
Observam ca ecuatia foarte seamana cu identitatea fundamentala trigonometrica:
sin²x+cos²x=1 (x-ul de aici nu are nimic de a face cu problema)
Insa avem doar la puterea a doua, de aceea propun sa ridicam ambele parti la cub si sa speram ca obtinem ceva :).
(sin²x+cos²x)³=1
Amintim : (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
sin⁶x+3sin⁴x*cos²x+3sin²x*cos⁴x+cos⁶x=1
De unde avem formula :
sin⁶x+cos⁶x=1-3sin⁴x*cos²x-3sin²x*cos⁴x
Astfel daca in egalitatea noastra facem o substitutie, u=2x si tinem cont de formula obtinuta :
sin⁶u+cos⁶u=7/16, din formula:
1-3sin⁴u*cos²u-3sin²u*cos⁴u=7/16
Trecem 3sin⁴u*cos²u si 3sin²u*cos⁴u in partea dreapta si 7/16 in stanga
1-7/16=3sin⁴u*cos²u+3sin²u*cos⁴u
In stanga pe 1 il vedem ca 16/16 si calculam, in dreapta scoatem factorul comun 3sin²u*cos²u si obtinem:
9/16=3sin²u*cos²u*(sin²u+cos²u)
In paranteza obtinem indentitatea trigonometrica, care este egala cu 1 :
9/16=3sin²u*cos²u
Impartim ambele parti la 3 :
3/16=sin²u*cos²u
Pe sin²u*cos²u il vedem ca [sin(u)*cos(u)]^2 :
3/16=[sin(u)*cos(u)]^2
Scoatem radacina patrata in ambele parti:
√3/4=sin(u)*cos(u)
Amintim ca sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), de unde sin(x)*cos(x)=sin(2x)/2, deci obtinem :
√3/4=sin(2u)/2
Inmultim ambele pari la 2 si obtinem:
√3/2=sin(2u)
Deja daca notam cu t=2u (t=4x), obtinem:
√3/2=sin(t)
De unde observam usor (macar si cu tabelu) ca:
1)t=π/3+2πn, n∈Z
2)t=2π/3+2πn, n∈Z
Ne intoarcem la substitutie :
t=4x, de unde:
1)x=π/12+πn/2, n∈Z
2)x=π/6+πn/2, n∈Z
sin²x+cos²x=1 (x-ul de aici nu are nimic de a face cu problema)
Insa avem doar la puterea a doua, de aceea propun sa ridicam ambele parti la cub si sa speram ca obtinem ceva :).
(sin²x+cos²x)³=1
Amintim : (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
sin⁶x+3sin⁴x*cos²x+3sin²x*cos⁴x+cos⁶x=1
De unde avem formula :
sin⁶x+cos⁶x=1-3sin⁴x*cos²x-3sin²x*cos⁴x
Astfel daca in egalitatea noastra facem o substitutie, u=2x si tinem cont de formula obtinuta :
sin⁶u+cos⁶u=7/16, din formula:
1-3sin⁴u*cos²u-3sin²u*cos⁴u=7/16
Trecem 3sin⁴u*cos²u si 3sin²u*cos⁴u in partea dreapta si 7/16 in stanga
1-7/16=3sin⁴u*cos²u+3sin²u*cos⁴u
In stanga pe 1 il vedem ca 16/16 si calculam, in dreapta scoatem factorul comun 3sin²u*cos²u si obtinem:
9/16=3sin²u*cos²u*(sin²u+cos²u)
In paranteza obtinem indentitatea trigonometrica, care este egala cu 1 :
9/16=3sin²u*cos²u
Impartim ambele parti la 3 :
3/16=sin²u*cos²u
Pe sin²u*cos²u il vedem ca [sin(u)*cos(u)]^2 :
3/16=[sin(u)*cos(u)]^2
Scoatem radacina patrata in ambele parti:
√3/4=sin(u)*cos(u)
Amintim ca sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), de unde sin(x)*cos(x)=sin(2x)/2, deci obtinem :
√3/4=sin(2u)/2
Inmultim ambele pari la 2 si obtinem:
√3/2=sin(2u)
Deja daca notam cu t=2u (t=4x), obtinem:
√3/2=sin(t)
De unde observam usor (macar si cu tabelu) ca:
1)t=π/3+2πn, n∈Z
2)t=2π/3+2πn, n∈Z
Ne intoarcem la substitutie :
t=4x, de unde:
1)x=π/12+πn/2, n∈Z
2)x=π/6+πn/2, n∈Z
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți alte întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!