Pentru
[tex]x-1= \sqrt{2x- \sqrt{2} } [/tex]
Ridicăm ecuația la pătrat.
[tex] (x-1)^{2}=2x- \sqrt{2} [/tex]
Desfacem paranteza.
[tex] x^{2} -2x+1=2x- \sqrt{2} [/tex]
Ducem totul în partea stânga.
[tex] x^{2} -4x+1- \sqrt{2}=0 [/tex]
Aflăm cele două soluții ale ecuației de gradul doi cu delta.
[tex]\Delta= b^{2}-4ac= (-4)^{2}-4*1*(1- \sqrt{2} )=4(1-1+ \sqrt{2} )=4 \sqrt{2} [/tex]
Atunci
[tex]x1= \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}
= \frac{4+ \sqrt{4 \sqrt{2} } }{2}=\frac{4+ 2\sqrt{ \sqrt{2} } }{2}=2+ \sqrt{ \sqrt{2} }\\~
x2= \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}
= \frac{4- \sqrt{4 \sqrt{2} } }{2}=\frac{4- 2\sqrt{ \sqrt{2} } }{2}=2-\sqrt{ \sqrt{2} }[/tex]
Pentru
[tex]x-1= \sqrt{2x}- \sqrt{2} [/tex]
Îl ducem pe radical din 2 în partea stângă a egalului și ridicăm la pătrat ecuația
[tex]x-1+ \sqrt{2}= \sqrt{2x} \\~
(x-1+ \sqrt{2})^2= 2x\\~
x^{2} +2( \sqrt{2}-1 )x+(\sqrt{2}-1)^2=2x[/tex]
Ducem 2x în partea stângă.
[tex]x^{2} +2( \sqrt{2}-1 )x+(\sqrt{2}-1)^2-2x=0\\~
x^{2} +2( \sqrt{2}-1 -1)x+(2+1-2 \sqrt{2} )=0\\~
x^{2} +2( \sqrt{2}-2 )x+(3-2\sqrt{2})=0[/tex]
Aflăm soluțiile ecuației de gradul doi cu ajutorul lui delta.
[tex]\Delta= b^{2}-4ac=4( \sqrt{2}-2 )^2 -4(3-2 \sqrt{2} )\\~=4(2+4-2 \sqrt{2} )-4(3-2 \sqrt{2} )=4(6-2 \sqrt{2}- 3+2 \sqrt{2} )\\~
=4*3=12[/tex]
Atunci soluțiile ecuației sunt:
[tex]x1= \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{-2( \sqrt{2}-2 )+ \sqrt{12} }{2}=\frac{-2( \sqrt{2}-2 )+ 2\sqrt{3} }{2}=\frac{-2( \sqrt{2}-2 - \sqrt{3}) }{2}\\~
=\frac{2( 2 + \sqrt{3}- \sqrt{2} ) }{2}\\~
x1= \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{-2( \sqrt{2}-2 )- \sqrt{12} }{2}=\frac{-2( \sqrt{2}-2 )-2\sqrt{3} }{2}=\frac{-2( \sqrt{2}-2 + \sqrt{3}) }{2}\\~
=\frac{2( 2 - \sqrt{3}- \sqrt{2} ) }{2}\\~ [/tex]
Pentru [tex]x-1= \sqrt{2}x- \sqrt{2} [/tex]
Este valabilă relația pentru orice x real.
