1.a) Un punct de pe grafic este f[tex]x = -x-1\\~
2x = -1\\~
x = \frac{-1}{2}[/tex]orma [tex](x,f(x))[/tex]. Faptul că coordonatele sunt egale se rescrie ca [tex]x=f(x)[/tex].
2.a) Vrem [tex]A(2m,m^2+3)[/tex] să aparțină [tex]G_f = \{ (x,f(x)):x \in R \}[/tex]. Cu alte cuvinte, vrem [tex]f(2m) =m^2+3[/tex].
[tex]f(2m) = 4m-1\\~
f(2m) = m^2+3\\~
4m-1=m^2+3\\~
m^2-4m+4 = 0\\~
\Delta = 16-16 = 0\\~
x_1 =x_2 =\frac{4}{2} = 2[/tex]
Am obținut m = 2, deci A(4,7) este în reprezentarea grafică a funcției.
b)
Observăm că funcția este liniară, deci reprezentarea ei grafică este o dreaptă. O dreaptă este determinată unic de două puncte, avem deja punctul A, mai găsim un punct B și formăm dreapta AB și ea este funcția noastră. Pentru a găsi B, facem o alegere pentru x( să spunem x = 0). Așadar, B(0,f(0)) = B(0,-1). Am atașat o poză cu graficul funcției, dar e banal.
3. [tex]f:R \rightarrow R, f(x) = x+1\\~
A= 2012+2*[f(0)+f(1)+...+f(2010)][/tex] Calculăm suma din paranteze folosind suma lui Gauss( nu uita ca f(0) = 1). Avem că [tex]A = 2012 + 2*\frac{2011*2012}{2}\\~
A = 2012+2012*2011 = 2012*2012.[/tex], se vede că e pătrat perfect.
4.a)[tex]f:R \rightarrow R, f(x)=ax+b, \left \{ {{f(2011)=2012} \atop {f(0)=-1}} \right. \\~
\left \{ {{2011a+b=2012} \atop {b=-1}} \right. \\~
2011a-1=2012\\~
2011a=2013\\~
a = \frac{2013}{2011}[/tex]
b) Facem două alegeri pentru x, fie ele 1 și -1 și obținem punctele A(1,0) și B(-1,-2). trasăm o dreaptă între A și B și am terminat. A doua poză, tot o dreaptă doar că mai puțin înclinată.
5.[tex]f:R\rightarrow R,f(x)=\frac{3}{4}x-1[/tex]
a)[tex]f(-4)*f(4)=(\frac{3}{4}(-4)-1)*(\frac{3}{4}*4-1) = -4*2 = -8[/tex]
b)
Intersecția cu axa Ox este de forma [tex](0,x)[/tex]
Intersecția cu axa Oy este de forma [tex](y,0)[/tex]
Iar cele două puncte trebuie să aparțină graficului funcției, cu alte cuvinte, ele sunt de forma [tex](0,f(0))[/tex] și [tex](y,f(y))[/tex] cu proprietatea că [tex]f(x)=0[/tex].
Intersecția cu axa Ox este [tex](0,-1)[/tex]
Iar pentru intersecția cu axa Oy trebuie să-l determinăm pe y.
[tex]f(y) = 0\\~
\frac{3}{4}y-1=0\\~
\frac{3}{4}y = 1\\~
y = \frac{4}{3}[/tex]
Am găsit punctul [tex](\frac{4}{3},0)[/tex]
