Ideea e să folosesc formulele:
[tex] {(a + b)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2} [/tex]
[tex] {(a - b)}^{2} = {a}^{2} - 2ab + {b}^{2} [/tex]
14) Putem rescrie problema:
[tex] {x}^{2} + 6x + 9 + {y}^{2} + 10x + 25 \geqslant 0[/tex]
Adică să îl scriem pe 34 ca 9+25. Și observăm că putem aplica prima formula pentru că avem:
[tex] {x}^{2} + 2 \times x \times 3 + {3}^{2} + {y}^{2} + 2 \times y \times 5 + {5}^{2} \geqslant 0[/tex]
Adică o aplicăm de două ori, o dată pentru a=x și b=3 și după pentru a=y și b=5.
[tex] {(x + 3)}^{2} + {(y + 5)}^{2} \geqslant 0[/tex]
Numerele reale la puterea a doua o să fie mere mai mari sau egale ca 0. Așa că suma unor astfel de numere o să fie mai mare sau egală ca 0. Deci aceasta este adevărată.
15) Rescriem funcția astfel:
[tex] - ( {x}^{2} - 2x + 2) < 0[/tex]
Apoi o scriem încât să putem aplica a doua formulă.
[tex] - ( {x}^{2} - 2x + 1 + 1) < 0[/tex]
[tex] - ( {x}^{2} - 2x + 1) - 1 < 0[/tex]
Aplicăm formula.
[tex] - {(x - 2)}^{2} - 1 < 0[/tex]
Cum
[tex] {(x - 2)}^{2} \geqslant 0[/tex]
Atunci
[tex] - {(x - 2)}^{2} \leqslant 0[/tex]
Deci
[tex] - {(x - 2)}^{2} - 1 < 0[/tex]
16)O să aducem la o formă încât să putem aplica prima formula.
[tex] {x}^{2} + 4x + 4 + 3 \geqslant 3[/tex]
[tex] {x}^{2} + 2 \times x \times 2 + {2}^{2} + 3 \geqslant 3[/tex]
Aplicăm formula pentru a=x și b=2.
Atunci
[tex] {(x + 2)}^{2} + 3 \geqslant 3[/tex]
Cum
[tex] {(x + 2)}^{2} \geqslant 0[/tex]
Atunci și aceasta este adevărată.
17)O să o aducem la o formă asemănătoare cu a doua formulă.
[tex] - ({ (\sqrt{2}x) }^{2} - 2 \times \sqrt{2} x + 1) < 0[/tex]
Aplicăm formula.
[tex] - {( \sqrt{2} x + 1)}^{2} < 0[/tex]
Dar pentru
[tex]x = - \frac{1}{ \sqrt{2} } [/tex]
Ecuația va fi egală cu 0, deci nu e adevărată.
18) Vrem să aducem la o formă încât să aplicăm prima formula.
[tex]{( \sqrt{3} x)}^{2} + 2 \times \sqrt{3} x + 1 + 1 \geqslant 1[/tex]
Aplicăm formula pentru a=radical din 3 x și b=1.
[tex] {( \sqrt{3}x + 1)}^{2} + 1 \geqslant 1[/tex]
Cum
[tex] {( \sqrt{3}x + 1) }^{2} \geqslant 0[/tex]
Pentru orice x real, atunci și
[tex] {( \sqrt{3}x + 1) }^{2} + 1 \geqslant 1[/tex]
