Pentru a afla BD va trebui să scriem aria în două moduri:
Formula lui Heron pentru arie:
[tex]Aria= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} [/tex]
p este semiperimetru și este egal cu perimetrul împărțit la 2, adică:
[tex]p= \frac{a+b+c}{2}[/tex]
a,b și c sunt cele trei laturi.
Formula ariei:
[tex]Aria= \frac{Baza~* ~inaltime}{2}[/tex]
Iar în a doua parte o să folosim teorema lui Pitagora:
[tex] c^{2} = a^{2} + b^{2} [/tex]
unde c este ipotenuză și a și b catete.
Scriem formula în două feluri pentru triunghiul ABC.
[tex]p= \frac{AB+BC+CA}{2}= \frac{6 \sqrt{5} + 6+6\sqrt{6}}{2}=3 \sqrt{5} + 3+3\sqrt{6}[/tex]
[tex]Aria= \sqrt{p \\~
(p-6\sqrt{6})\\~
(p-6)(p-6\sqrt{5})\\~
[/tex]
[tex]Aria= \sqrt{p(3+3\sqrt{5}-3\sqrt{6})(3\sqrt{5}+3\sqrt{6}-3)(3\sqrt{6}+3-3\sqrt{5}))} [/tex]
[tex]Aria= \sqrt{ 3^{4}(1+ \sqrt{5} + \sqrt{6} )(1- \sqrt{5} + \sqrt{6} )(1+ \sqrt{5} -\sqrt{6} )
( \sqrt{5} + \sqrt{6} -1)} [/tex]
Desfacem câte două paranteze și obținem:
[tex]Aria=3 \sqrt{primele~doua~paranteze*ultimele~doua~paranteze}\\~
primele~doua=1+ \sqrt{5} - \sqrt{6} +\sqrt{5}+5-\sqrt{30}+\sqrt{6}+\sqrt{30}-6\\~
ultimele~doua=\sqrt{30}+\sqrt{5}-5+6+\sqrt{6}-\sqrt{30}-\sqrt{6}-1-\sqrt{5}[/tex]
Scăpăm de termenii care se anulează și calculăm.
[tex]Aria=3\sqrt{(1+2\sqrt{5}+5-6)(-5+6-1+2\sqrt{5})}\\~
Aria=3\sqrt{2\sqrt{5}*2\sqrt{5}}\\~
Aria=3*2\sqrt{5}\\~
Aria=6\sqrt{5}[/tex]
În celălalt fel, aria se scrie astfel:
[tex]Aria= \frac{AC*BD}{2} =\frac{6 \sqrt{6} *BD}{2}[/tex]
Simplificăm cu 2.
[tex]Aria=3 \sqrt{6} *BD[/tex]
Egalăm cele două arii obținute:
[tex]3 \sqrt{6} *BD=6\sqrt{5}[/tex]
Împărțim relația cu 3 radical din 5.
[tex]BD=2[/tex]
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul BDC și obținem:
[tex] BD^{2} + DC^{2}= BC^{2}\\~
2^{2} + DC^{2}= 6^{2}\\~
4 + DC^{2}= 36\\~[/tex]
Îl ducem pe 4 în partea dreaptă a egalului cu semn opus.
[tex]DC^{2}= 36-4=32\\~
DC= \sqrt{32} \\~
DC=4 \sqrt{2} [/tex]
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABD.
[tex]BD^{2} + DA^{2}= BA^{2}\\~
2^{2} + DC^{2}= (6 \sqrt{5})^{2}\\~
4 + DC^{2}= 36*5\\~
4 + DC^{2}=180
[/tex]
Îl ducem pe 4 în partea dreaptă a egalulu cu semn schimbat și calculăm.
[tex]DC^{2}=180-4\\~
DC^{2}=176\\~
DC=\sqrt{176}\\~
DC=4\sqrt{11}[/tex]
