Pentru rezolvare, trebuie să știm că [tex]1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]
[tex][x] = [x] \geq [x] \\~ [2x] = [x+x] \geq [x] +[x] \\~ [3x] = [2x+x] \geq [2x]+[x] \geq [x]+[x]+[x]\\ ...\\~ [nx] \geq n*[x][/tex]
Adunăm și obținem:
[tex][x]+[2x]+...[nx] \geq \frac{n(n+1)}{2}[x] \\ \frac{n(n+1)}{2} \geq \frac{n(n+1)}{2}[x] \\ 1 \geq [x][/tex][1]
Presupun [tex]x \in (0,1)[/tex], atunci, folosind aceeași proprietate, obținem
[tex][x] \ \textless \ 1 \\~ [2x] \ \textless \ 2 \\~ ...\\~ [nx] \ \textless \ n[/tex]
adunăm și avem că
[tex][x]+[2x]+...+[nx] \ \textless \ \frac{n(n+1)}{2} [/tex]
Ceea ce contrazice ipoteza. [2]
Presupun x< 0, obținem [x] < 0 și [tex][x]+[2x]+...+[nx] \ \textless \ 0[/tex], dar [tex]\frac{n(n+1)}{2} \ \textgreater \ 0 [/tex]. Contradicție cu ipoteza.[3]
Din [1],[2] și [3], obținem [x] = 1.
