👤
a fost răspuns

Fie polinomul P(x) = x³-3x²-x+3.

a) dacă Q(x) =2x+1, sa se determine P(Q(x)) ;
b) sa se arate ca pentru orice număr întreg x, P(Q(x)) se divide cu 16;
c) exista numere întregi x astfel încât P(Q(x)) sa se divida cu 32?

Răspuns :

NICUMAVROZE
pentru un calcul mai eficient grupam termenii
P=x^2(x-3)-(x-3)= (x^2-1)(x-3)=(x+1)(x-1)(x-3)
P(Q(x))=(Q-1)(Q+1)(Q-3)=(2x+2)(2x)(2x-2)=8(x-1)*x*x+1)
 se observa ca avem un produs de 3 numere intregi consecutive, deci sigur macar unul este par  deci de forma 2k
atunci P(Q(x))=8*2*(k*restul produsului), care sigur se divide cu 8*2=16

daca x este impar, atunci x-1 si x+1 sunt pare, deci de forma 2k si 2p, iar numarul P(Q(x))=8*2*2(k*p*restul produsului)=32*(k*p*restul produsului), care este divizibil cu 32.

[tex]\it a) ~Avem~P(x) = x(x^2-1)-3(x^2-1)=(x-3)~(x-1)~(x+1),~deci~P(Q(x))=(Q(x)-3)~(Q(x)-1)~(Q(x)+1)~adica~P(Q)(x))=8x~(x-1)~(x+1).[/tex]
b) Deoarece x(x + 1) se divide cu 2 pentru orice x∈Z, rezulta ca P(Q(x)) se divide cu 16 pentru orice x∈Z.
c) Observam ca P(Q(1)) = 0, deci P(Q1)) se divide prin 32. Mai mult, se poate arata ca P(Q(x)) se divide cu 32 pentru orice x∈Z, x impar.
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți alte întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ze Teaching: Alte intrebari