a) Fie BC ∩ AD = {F}. În triunghiul ABF avem:
CD || AB și CD = AB/2 ⇒ CD - linie mijlocie ⇒ BC = CF ⇒
⇒AC - mediană în ΔABF (1)
Dar, AC ⊥ BC ⇒ AC ⊥ BF ⇒ AC - înălțime în ΔABF (2)
(1), (2) ⇒ ΔABF - isoscel, AF = AB = 120m ⇒ AD = DF = 120/2 = 60m
ABCD - trapez isoscel ⇒ BC = AD = 60m ⇒ CF = BF = 60 m.
Prin urmare, triunghiul ABF - echilateral ⇒ m(∡B) = 60° ⇒ m(∡BCM) =30°
Din T.∡ 30° în ΔMBC ⇒ MB = BC/2 = 60/2 = 30m
c) Fie N simetricul lui B față de M ⇒ MN = MB = 30 m ⇒ BN = 60m ⇒
BN = AN = 60m ⇒ N -mijlocul lui AB ⇒ CN - mediană corespunzătoare
ipotenuzei în Δ CAB ⇒ CN = AB/2 = 120/2 = 60m.
CD || AB ⇒ CD || AN (3)
CD = AN = 60 m ⇒ [CD] ≡ [AN] (4)
(3), (4) ⇒ ANCD - paralelogram (5)
AD = AN = 60 m ⇒ [AD] ≡ [AN] (6)
(5), (6) ⇒ ANCD - romb.
DN - diagonală în romb ⇒ DN bisectoare pentru ∡ADC.
b)
[tex]\it \mathcal{A}_{ABCD} = \mathcal{A}_{FAB}-\mathcal{A}_{FDC} = \dfrac{120^2\sqrt3}{4} - \dfrac{60^2\sqrt3}{4} = \dfrac{\sqrt3}{4} (120^2-60^2) =
\\ \\ \\
= \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 10800 = 2700\sqrt3 m^2 [/tex]
[tex]\it \mathcal{A}_{ABCD} = 2700\sqrt3 \ \textless \ 2700\cdot1,74 = 27\cdot174 = 4698 m^2 \ \textless \ 5000m^2
\\ \\ \\ 5000m^2 = \dfrac{1}{2} ha \Rightarrow \mathcal{A}_{ABCD} \ \textless \ \dfrac{1}{2}ha[/tex]
