[tex]\it x^2-2(m-1)x +2m^2-2m=0\Leftrightarrow x^2-2(m-1)x +2m(m-1)=0\\ \\ \\
\dfrac{x_1}{x_2} +\dfrac{x_2}{x_1} =4 \Rightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} =\dfrac{4}{1}|_{\cdot\frac{1}{2}} \Rightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2}{2x_1x_2} =\dfrac{2}{1} \stackrel{derivare}{\Longrightarrow}
\\ \\ \\
\Rightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2}{2x_1x_2} = \dfrac{2+1}{1} \Rightarrow \dfrac{(x_1+x_2)^2}{2x_1x_2} = 3 \ \ \ \ (1)[/tex]
Cu relațiile lui Viète, obținem:
[tex]\it x_1+x_2 = 2(m-1) \ \ \ \ \ (2)
\\ \\
x_1x_2=2m(m-1) \ \ \ \ \ \ (3)[/tex]
Folosind relațiile (2) și (3), relația (1) devine:
[tex]\it \dfrac{4(m-1)^2}{4m(m-1)} = 3 \Rightarrow \dfrac{m-1}{m} =3 \Rightarrow m-1=3m \Rightarrow -1= 3m-m \Rightarrow
\\ \\ \\
\Rightarrow -1 = 2m \Rightarrow 2m=-1 \Rightarrow m= -\dfrac{1}{2}[/tex]
Observație :
Pentru m = 1, ecuația dată se reduce la x² = 0 ⇒ x = 0, iar relația din enunț
dintre rădăcinile ecuației nu mai este valabilă. Deci, avem că m≠1 ⇒ m-1 ≠ 0,
ceea ce permite simplificare, spre final, cu m - 1.
