Pentru a deduce modul în care se rezolvă problema, să luăm un caz general (fără valori exacte, deoarece în acest caz n-au relevanță).
Fie o funcție [tex]f:A \rightarrow B[/tex], unde [tex]A=\{a_1;~a_2;~a_3;~...;~a_m\}[/tex] și [tex]B=\{b_1;~b_2;~b_3;~...;~b_n\}[/tex].
Observăm că |A|=m și |B|=n, unde |A| și |B| reprezintă numărul elementelor din mulțimea A, respectiv din mulțimea B.
Pentru ca funcția să fie validă, trebuie ca fiecărui element din domeniul de definiție (mulțimea [tex]A[/tex]), să-i aparțină un singur element din co-domeniu (mulțimea [tex]B[/tex])
a) [tex]f(a_1)[/tex] poate lua [tex]n[/tex] valori, și anume cele din co-domeniu, adică [tex]b_1, b_2, ..., b_n[/tex]. De asemenea, și [tex]f(a_2)[/tex] poate lua tot [tex]n[/tex] valori. Fiecare dintre cele [tex]m[/tex] elemente ale mulțumii [tex]A[/tex] pot lua câte [tex]n[/tex] valori.
Astfel, numărul de funcții posibile va fi dat de:
[tex]\underbrace {n\cdot n\cdot n\cdot...\cdot n}=n^m=|B|^{|A|}\\^{~~~~de~m~ori}[/tex]
În cazul nostru, numărul de funcții posibile va fi [tex]3^4=81[/tex].
b) Pentru punctul b, avem restricția ca [tex]f(0)=3[/tex]. Asta înseamnă că [tex]f(0)[/tex] poate lua o singură valoare, iar [tex]f(1),~f(2)[/tex] și [tex]f(3)[/tex] pot lua fiecare câte 3 valori.
Deci: numărul de funcții va fi [tex]1\cdot 3\cdot3\cdot 3=3^3=27[/tex].
c) La punctul c, avem restricția [tex]f(1)=f(2)[/tex]. Deci, gândește-te ca și cum cele două sunt "la pachet". Amandouă pot lua simultam una din cele 3 valori ale co-domeniului, așa că la calculul final, le vom considera ca fiind un singur element, deoarece valoarea uneia determină valoarea celeilalte. În schimb, [tex]f(0)[/tex] și [tex]f(4)[/tex] rămân independente de celelalte elemente și fiecare poate lua tot câte 3 valori. Astfel, numărul de funcții va fi [tex]3\cdot 3\cdot 3=27[/tex].
Nu știu dacă am fost destul de explicit. Dacă e ceva neclar, poți să mă întrebi în comentarii!
