b) mx² - (m+1)x+1 = 0
Δ = b²-4ac ⇒ Δ=[-(m+1)]² - 4*m*1 ⇒ Δ=m²+2m+1-4m ⇒ Δ=m²-2m+1 ⇒
⇒ Δ=(m-1)²
[tex] x_{1}= \frac{-(-(m+1)) + \sqrt{(m-1)^{2} } }{2*m} \\ \\ x_{1} = \frac{m+1+|m-1|}{2m} \\ \\ x_{2}= \frac{-(-(m+1))- \sqrt{(m-1)^{2} } }{2*m} \\ \\ x_{2} = \frac{m+1-|m-1|}{2m} [/tex]
Facem tabelul de semn al lui |m-1|
m-1 = 0 ⇒ m=1
m | -∞ 1 +∞
------- |------------------------------------------
m-1 | ------------------ 0 +++++++++++
Avem doua cazuri:
I) m∈(-∞; 1]
[tex] x_{1}= \frac{m+1+1-m}{2m} \\ \\ x_{1}= \frac{2}{2m} \\ \\ x_{1} = \frac{1}{m} \\ \\ \\ x_{2}= \frac{m+1-1+m}{2m} \\ \\ x_{2}= \frac{2m}{2m} \\ \\ x_{2}=1 [/tex]
II) m∈(1;+∞)
[tex] x_{1} = \frac{m+1+m-1}{2m} \\ \\ x_{1} = \frac{2m}{2m} \\ \\ x_{1} =1 \\ \\ \\ x_{2}= \frac{m+1+1-m}{2m} \\ \\ x_{2}= \frac{2}{2m} \\ \\ x_{2}= \frac{1}{m} [/tex]
Vedem ca solutiile sunt aceleasi ⇒ [tex]S=( 1; \frac{1}{m} )[/tex]
d) x²-2mx+m=0
Δ=b²-4ac ⇒ Δ=4m²-4m⇒ Δ=4m(m-1)
[tex] x_{1}= \frac{2m+ \sqrt{4m(m-1)} }{2} \\ \\ x_{1}= \frac{2m+
2 \sqrt{m(m-1)} }{2} \\ \\ x_{1}=m+ \sqrt{m(m-1)} \\ \\ \\ x_{2}= \frac{2m- \sqrt{4m(m-1)} }{2} \\ \\ x_{2} = \frac{2m-2 \sqrt{m(m-1)} }{2} \\ \\ x_{2}=m- \sqrt{m(m-1)}[/tex]
Acum se vedem pentru ce valori ale lui m exista aceste doua solutii.
√m(m-1) exista ⇔ m(m-1) ≥0
m₁ = 0; m₂ = -1
Notam f(m) = m(m-1)
m | -∞ -1 0 +∞
------ |----------------------------------------
f(m) | +++++++0---------0 ++++++++
Vedem din tabelul de semn ca solutiile ecuatiei exista ⇔ m∈(-∞; -1) ∪ (0; +∞) ⇒
⇒ [tex]S = (m+ \sqrt{m(m-1)};~ m- \sqrt{m(m-1)}; ) [/tex]
