Raționalizăm numitorul firecărei fracții și ținem seama de faptul că diferența
a doi termeni consecutivi ai progresiei aritmetice este egală cu r (rația).
[tex]\it \dfrac{1}{ \sqrt{a_1} +\sqrt{a_2}} = \dfrac{1}{ \sqrt{a_2} +\sqrt{a_1}} = \dfrac{\sqrt{a_2} -\sqrt{a_1}}{a_2-a_1} = \dfrac{\sqrt{a_2} -\sqrt{a_1}}{r}[/tex]
Suma devine :
[tex]\it \dfrac{\sqrt{a_2} -\sqrt{a_1} +\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2} +\sqrt{a_4}-\sqrt{a_3} +\ ...\ + \sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}} }{r} =
\\\;\\ \\\;\\
= \dfrac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}{r} =\dfrac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}{r} \cdot \dfrac{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1} } = \dfrac{a_n-a_1}{r(\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1})} =
\\\;\\ \\\;\\
= \dfrac{(n-1)r}{r(\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1})} = \dfrac{n-1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1}}
[/tex]
La final, am folosit faptul că :
[tex]\it a_n = a_1+(n-1)r \ \Rightarrow \ a_n-a_1=(n-1)r[/tex]
