18. b) Calculam A-B:
[tex]A-B = \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{\sin(x) - \cos(x)}{\sin(x) + \cos(x)}} \, dx [/tex]
Putem observa ca:
[tex](\sin(x) + \cos(x))' = \cos(x) - \sin(x) \[/tex]
si folosindu-ne de asta putem rescrie integrala:
[tex]A-B = - \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{(\sin(x) + \cos(x))'}{\sin(x) + \cos(x)}} \, dx [/tex]
[tex]A-B= - \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {(\ln(\sin(x) + \cos(x)))'} \, dx [/tex]
[tex]A-B = -(\ln(\sin(\frac{\pi}{2})+\cos(\frac{\pi}{2})) - \ln(\sin(0) + \cos(0)))[/tex]
[tex]A-B=-(\ln(1+0) - \ln(0+1))=0[/tex]
Deci, avem ca A=B.
19. Aratam mai intai ca cele doua integrale sunt egale calculand B-A. O notam pe prima cu A si pe a doua cu B. Avem:
[tex]B-A= \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{(\cos(x))^3 - (\sin(x))^3}{\sin(x) + \cos(x)}} \, dx [/tex]
Folosim formula pentru diferenta cuburilor si avem:
[tex]B-A = \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{(\cos(x) - \sin(x))((\sin(x))^2 + \sin(x) \cos(x) + (\cos(x))^2)}{\sin(x) + \cos(x)}} \, dx [/tex]
Inmultim cu 2 cea de-a doua paranteza de sus si ne vom folosi si de faptul ca [tex]\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1[/tex].
[tex]B-A= \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{(\cos(x) - \sin(x))(2\sin^2(x) + 2\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x))}{\sin(x) + \cos(x)}} \, dx [/tex]
[tex]B-A= \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{(\cos(x) - \sin(x))(1 + \sin^2(x) + \cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x))}{\sin(x) + \cos(x)}} \, dx [/tex]
Observam ca acum putem forma un patrat in cea de-a doua paranteza de sus. Obtinem:
[tex]B-A= \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{(\cos(x) - \sin(x))(1 + (\sin(x) + \cos(x))^2)}{\sin(x) + \cos(x)}} \, dx [/tex]
Distribuim acum prima paranteza la suma din cea de-a doua:
[tex]B-A= \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{\cos(x) - \sin(x)+ (\cos(x) - \sin(x))(\sin(x) + \cos(x))^2}{\sin(x) + \cos(x)}} \, dx [/tex]
si spargem acum fractia in doua:
[tex]B-A= \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 (\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\sin(x) + \cos(x)} +\frac{(\cos(x) - \sin(x))(\sin(x) + \cos(x))^2}{\sin(x) + \cos(x)} ) \, dx [/tex]
[tex]B-A= \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 (\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\sin(x) + \cos(x)} +(\cos(x) - \sin(x))(\sin(x) + \cos(x) )) \, dx [/tex]
[tex]B-A= \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 (\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\sin(x) + \cos(x)} +\cos^2(x) - \sin^2(x)) \, dx [/tex]
Folosim acum faptul ca [tex]\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)[/tex] si distribuim integrala fiecarui termen al sumei:
[tex]B-A= \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\cos(x) - \sin(x)}{\sin(x) + \cos(x)} \, dx + \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\cos(2x)} \, dx [/tex]
Putem observa ca prima integrala este aceeasi ca la 18 b) si va fi egala cu zero, iar cea de-a doua da tot zero prin calcul. Deci B-A=0, adica B=A. Valoarea pentru cele doua se poate calcula facand A+B, despre care stim ca va fi egal atat cu 2A, cat si cu 2B. Se calculeaza intr-o maniera asemanatoare (se sparge suma de cuburi, se va face rapid o simplificare, suma integralelor va fi mult mai simpla).
19. Sa notam cu I integrala aceasta. Incepem prin a face schimbarea de variabila x=-y, voi scrie forma integralei direct dupa schimbare, tinand cont de faptul ca [tex]\cos(-y) = \cos(y)[/tex]. Avem:
[tex]I= \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} {\frac{e^{-y}}{1+ e^{-y}} \cos(y)} \, dy [/tex]
Impartind fractia prin exponentiala de la numarator obtinem:
[tex]I= \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} {\frac{1}{1+ e^{y}} \cos(y)} \, dy [/tex]
Acum, adunam noua forma a lui I cu cea initiala (notand variabila din cea noua din nou cu x) si observam ca ajungem la forma foarte simpla:
[tex]2I= \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} {\frac{1 + e^x}{1+ e^{x}} \cos(x)} \, dx[/tex]
Deci, avem:
[tex]2I= \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} {\cos(x)} \, dx[/tex]
integrala al carei calcul este lasat cititorului ca exercitiu.
