Stim ca [tex](\mathbb{R},*)[/tex] este un monoid, deci el admite un element neutru. Adica, exista [tex]e\epsilon \mathbb{R}[/tex] astfel incat pentru orice [tex]x \epsilon \mathbb{R}[/tex] sa avem [tex]x*e=e*x=x[/tex]. Putem observa cu usurinta faptul ca legea este comutativa, deci este suficient sa folosim doar una din compuneri. Fie [tex]x \epsilon \mathbb{R}[/tex]. Avem:
[tex]x*e=x[/tex]
[tex]xe+ax+ae+b=x[/tex]
[tex](a+e)x + ae+b=x[/tex]
Identificand coeficientii, obtinem relatiile:
[tex] \left \{ {{a+e=1} \atop {ae+b=0}} \right. [/tex]
Din prima avem ca [tex]e=1-a[/tex] si inlocuind in cea de-a doua obtinem:
[tex]a(1-a)+b=0[/tex]
[tex]b=a^2-a[/tex]
Am obtinut o relatie intre a si b. Ca o mica observatie, folosindu-ne de asociativitatea legii ajungeam la acelasi rezultat. Acum, din conditiile impuse de problema, stim ca [tex]a,b \epsilon \{-2,-1,0,1,2\}[/tex].
Pentru a=-2 obtinem b=6, caz care nu convine deoarece nu apartine multimii.
Pentru a=-1 obtinem b=2.
Pentru a=0 obtinem b=0.
Pentru a=1 obtinem b=0.
Pentru a=2 obtinem b=2.
Asadar, avem solutiile [tex](a,b)\epsilon \{(-1,2),(0,0),(1,0),(2,2)\}[/tex]. Pentru aceste valori legea va fi asociativa si va admite element neutru, deci [tex](\mathbb{R},*)[/tex] va fi un monoid.
