👤
a fost răspuns

Fie a,b∈R astfel incat a+b=2π. Aratati ca sina*sinb≤0.

Răspuns :

PRECAMBRIANZE
Aplicam cosinus egalitatii [tex]a+b=2\pi[/tex]:
[tex]\cos(a+b)=\cos(2\pi)=1[/tex]
Folosim formula pentru cosinusul sumei:
[tex]\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=1[/tex]
[tex]\cos(a)\cos(b)=1+\sin(a)\sin(b)[/tex]
Acum, cum pentru orice [tex]x\epsilon \mathbb{R}[/tex] [tex]\cos(x) \leq 1[/tex], vom avea ca [tex]\cos(a)\cos(b) \leq 1[/tex], deci:
[tex]1+\sin(a)\sin(b) \leq 1[/tex]
de unde rezulta ca:
[tex]\sin(a)\sin(b) \leq 0[/tex]
ALBATRANZE
sin a*sinb=sina*sin(2π-a)= sina * sin(-a)= sina * (-sina) =-sin²a
cum sin a∈[-1;1]⇒sin²a∈[0;1]si -sin²a∈[-1;0]≤0
C.C.T.D.
 as simple as that!!



OBS.:
am tinut cont ca:
1) sina=sin (2kπ+a), k∈Z; adixca functia sinx este periodica, avand perioada principal 2π
si ca
2) functia sinx este impara, adica sin(-x) =-sinx
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți alte întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!


Ze Teaching: Alte intrebari