👤

Fie a,b∈R astfel incat a+b=2π. Aratati ca sina*sinb≤0.


Răspuns :

Aplicam cosinus egalitatii [tex]a+b=2\pi[/tex]:
[tex]\cos(a+b)=\cos(2\pi)=1[/tex]
Folosim formula pentru cosinusul sumei:
[tex]\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=1[/tex]
[tex]\cos(a)\cos(b)=1+\sin(a)\sin(b)[/tex]
Acum, cum pentru orice [tex]x\epsilon \mathbb{R}[/tex] [tex]\cos(x) \leq 1[/tex], vom avea ca [tex]\cos(a)\cos(b) \leq 1[/tex], deci:
[tex]1+\sin(a)\sin(b) \leq 1[/tex]
de unde rezulta ca:
[tex]\sin(a)\sin(b) \leq 0[/tex]
sin a*sinb=sina*sin(2π-a)= sina * sin(-a)= sina * (-sina) =-sin²a
cum sin a∈[-1;1]⇒sin²a∈[0;1]si -sin²a∈[-1;0]≤0
C.C.T.D.
 as simple as that!!



OBS.:
am tinut cont ca:
1) sina=sin (2kπ+a), k∈Z; adixca functia sinx este periodica, avand perioada principal 2π
si ca
2) functia sinx este impara, adica sin(-x) =-sinx