Răspuns :
a)
Vom aranja cartonasele intr-un triunghi in care pe randul k se afla de k ori numarul k, pentru a urmari mai usor rezolvarea si pentru a o vizualiza:
1
2 2
3 3 3
...
Fie m randul de dinaintea cartonasului de pe pozitia n, astfel:
[tex]\underbrace{1,\overbrace{2,2}^{\text{2 termeni}},\overbrace{3,3,3}^{\text{3 termeni}},...,\overbrace{m,m,...,m}^{\text{m termeni}},\overbrace{(m+1),(m+1),...,(m+1)}^{\text{mai putin de (m+1) termeni}}}_{\text{n termeni}}[/tex]
Stim ca pe randul k se afla k termeni. Asadar, pe toate randurile pana la m inclusiv, se vor afla: 1 + 2 + 3 + ... + m = m(m + 1) / 2 termeni:
[tex]\underbrace{\overbrace{1,2,2,3,3,3,...,m,m,...,m,}^{\frac{m(m+1)}{2}\text{ termeni}}\overbrace{(m+1),(m+1),...,(m+1)}^{\text{x termeni}}}_{\text{n termeni}}[/tex]
De aici se observa ca x = n - m(m+1)/2
Acum putem calcula suma in functie de m. Suma termenilor unui rand k este:
[tex]\underbrace{k + k + ... + k}_{\text{de k ori}} = k \cdot k = k^2[/tex]
Suma termenilor de pe toate randurile pana la randul m este:
[tex]s=1^2+2^2+...+m^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}[/tex]
Iar suma celor x termeni ramasi de pe randul (m+1) este:
[tex]s'=\underbrace{(m+1)+(m+1)+...+(m+1)}_{\text{x termeni}}=x(m+1)=\\=(n-\frac{m(m+1)}{2})(m+1)[/tex]
Suma primilor n termeni in functie de m este:
[tex]S=s+s'=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+(n-\frac{m(m+1)}{2})(m+1)=\\\\ =\frac{m+1}{2}(\frac{m(2m+1)+6n-3m(m+1)}{3})=\boxed{\frac{(m+1)(6n-m(m+2))}{6}}[/tex]
Acum mai trebuie sa-l aflam pe m.
Stim ca pana la randul m sunt m(m+1)/2 termeni. Astfel, m este cel mai mare numar natural astfel incat m(m+1)/2 ≤ n
Aceasta este o inecuatie de gradul al doilea cu necunoscuta in m:
[tex]\frac{m(m+1)}{2}\leq n\rightarrow m(m+1)\leq 2n\\\\ m^2+m-2n\leq 0\\\\ \Delta=1+4\cdot2n=1+8n\\\\ m_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+8n}}{2}\\\\ a\ \textgreater \ 0\rightarrow m\in [\frac{-1-\sqrt{1+8n}}{2},\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}]\\\\ max(m)= \boxed{\lfloor \frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}\rfloor}\\\ \lfloor x\rfloor=\text{partea intreaga a lui x}[/tex]
La b), problema aflarii numarului de pe cartonas este inclusa in problema aflarii lui m:
Daca m(m+1)/2 = n (inseamna ca elementul de pe pozitia n este chiar ultimul pe rand, asadar, nu va mai exista un rand in plus), atunci cartonasul va fi m
Altfel, cartonasul va fi m + 1
Vom aranja cartonasele intr-un triunghi in care pe randul k se afla de k ori numarul k, pentru a urmari mai usor rezolvarea si pentru a o vizualiza:
1
2 2
3 3 3
...
Fie m randul de dinaintea cartonasului de pe pozitia n, astfel:
[tex]\underbrace{1,\overbrace{2,2}^{\text{2 termeni}},\overbrace{3,3,3}^{\text{3 termeni}},...,\overbrace{m,m,...,m}^{\text{m termeni}},\overbrace{(m+1),(m+1),...,(m+1)}^{\text{mai putin de (m+1) termeni}}}_{\text{n termeni}}[/tex]
Stim ca pe randul k se afla k termeni. Asadar, pe toate randurile pana la m inclusiv, se vor afla: 1 + 2 + 3 + ... + m = m(m + 1) / 2 termeni:
[tex]\underbrace{\overbrace{1,2,2,3,3,3,...,m,m,...,m,}^{\frac{m(m+1)}{2}\text{ termeni}}\overbrace{(m+1),(m+1),...,(m+1)}^{\text{x termeni}}}_{\text{n termeni}}[/tex]
De aici se observa ca x = n - m(m+1)/2
Acum putem calcula suma in functie de m. Suma termenilor unui rand k este:
[tex]\underbrace{k + k + ... + k}_{\text{de k ori}} = k \cdot k = k^2[/tex]
Suma termenilor de pe toate randurile pana la randul m este:
[tex]s=1^2+2^2+...+m^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}[/tex]
Iar suma celor x termeni ramasi de pe randul (m+1) este:
[tex]s'=\underbrace{(m+1)+(m+1)+...+(m+1)}_{\text{x termeni}}=x(m+1)=\\=(n-\frac{m(m+1)}{2})(m+1)[/tex]
Suma primilor n termeni in functie de m este:
[tex]S=s+s'=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+(n-\frac{m(m+1)}{2})(m+1)=\\\\ =\frac{m+1}{2}(\frac{m(2m+1)+6n-3m(m+1)}{3})=\boxed{\frac{(m+1)(6n-m(m+2))}{6}}[/tex]
Acum mai trebuie sa-l aflam pe m.
Stim ca pana la randul m sunt m(m+1)/2 termeni. Astfel, m este cel mai mare numar natural astfel incat m(m+1)/2 ≤ n
Aceasta este o inecuatie de gradul al doilea cu necunoscuta in m:
[tex]\frac{m(m+1)}{2}\leq n\rightarrow m(m+1)\leq 2n\\\\ m^2+m-2n\leq 0\\\\ \Delta=1+4\cdot2n=1+8n\\\\ m_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+8n}}{2}\\\\ a\ \textgreater \ 0\rightarrow m\in [\frac{-1-\sqrt{1+8n}}{2},\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}]\\\\ max(m)= \boxed{\lfloor \frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}\rfloor}\\\ \lfloor x\rfloor=\text{partea intreaga a lui x}[/tex]
La b), problema aflarii numarului de pe cartonas este inclusa in problema aflarii lui m:
Daca m(m+1)/2 = n (inseamna ca elementul de pe pozitia n este chiar ultimul pe rand, asadar, nu va mai exista un rand in plus), atunci cartonasul va fi m
Altfel, cartonasul va fi m + 1
Vă mulțumim că ați ales să vizitați site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți alte întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista de favorite!