[tex]f:R\backslash\{2,3\}\rightarrow R,\ f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{ln(x-2)}\ ,\ x \in (2,\infty)\backslash{\{3\}}\\
x+a\ ,\ x \in (-\infty,2)
\end{array}
\right[/tex]
a)
Va trebui sa calculam limita de stanga si de dreapta. Pentru stanga(cand x este mai mic decat 2), vom avea a doua ramura, iar pentru dreapta o vom avea pe prima:
[tex]\lim_{x\nearrow2} f(x)=\lim_{x\nearrow2}(x+a)=2+a\\\\
\lim_{x\searrow2}f(x)=\lim_{x\searrow2}\frac{1}{ln(x-2)}=\frac{1}{-\infty}=0[/tex]
b)
Aflam mai intai ecuatia asimptotelor orizontale:
[tex]\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{ln(x-2)}=\frac{1}{\infty}=0\\\\
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x+a)=\infty[/tex]
Asadar, singura asimptota orizontala este y = 0, spre infinit
Pentru asimptota verticala, vom calcula limita in punctele de acumulare care nu se afla in domeniul de definitie. Pentru 2 am calculat deja, si niciuna dintre ele nu este infinita, asadar, nu avem asimptote verticale pentru x = 2.
Ne mai ramane x = 3. Vom face pentru stanga si pentru dreapta:
[tex]\lim_{x\nearrow3}f(x)=\lim_{x\nearrow3}\frac{1}{ln(x-2)}=\frac{1}{0_{-}}=-\infty\\\\
\lim_{x\searrow3}f(x)=\lim_{x\searrow3}\frac{1}{ln(x-2)}=\frac{1}0_{+}=\infty[/tex]
Asadar, dreapta x = 3 este asimptota verticala bilaterala
Avem cele doua asimptote: y = 0 si x = 3. Punctul de intersectie va fi punctul in care coordonata y va fi egala cu 0, si coordonata x cu 3, adica punctul
(3, 0)
