Ecuația există pentru a > 0, b > 0, 2a > b.
2a > b ⇒ a > b/2 ⇒ a/b > 1/2 (1)
[tex]\it log_3 a + log_3b = 2log_3(2a-b) \Rightarrow log_3 ab = log_3(2a-b)^2 \ \ \ \ (2)[/tex]
Deoarece funcția logaritmică este injectivă, relația (2) devine:
[tex]\it ab = (2a-b)^2 \ \ \ \ (3)[/tex]
Notăm a/b = k ⇒ a = bk și ecuația (3) devine :
[tex]\it bk\cdot b = (2bk-b)^2 \Leftrightarrow b^2k = [b(2k-1)]^2 \Leftrightarrow b^2k = b^2(2k-1)^2|_{:b^2} \Leftrightarrow
\\ \\ \\
\Leftrightarrow k = (2k-1)^2 \Leftrightarrow k = 4k^2-4k+1 \Leftrightarrow4k^2-5k+1=0 \Leftrightarrow
\\ \\ \\
\Leftrightarrow 4k^2-4k-k+1=0 \Leftrightarrow 4k(k-1) -(k-1) =0 \Leftrightarrow
[/tex]
[tex]\it \Leftrightarrow (k-1)(4k-1)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}\it k-1=0 \Rightarrow k = 1
\\ \\
\it 4k-1= 0 \Rightarrow k = \dfrac{1}{4} \ \textless \ \dfrac{1}{2} \ (nu\ convine)\end{cases}[/tex]
Așadar, avem soluția unică: a/b = 1.
